ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΑΡΧΑΙΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ
Α1.α.
1 Λάθος
2 Λάθος
3 Σωστό
Α1.β.
α 1
β 3
Β1.
Σ’ αυτή την ενότητα ο Αριστοτέλης επιχειρεί να δώσει τον πρώτο ορισμό της έννοιας
«πόλις» στα Πολιτικά. Η «πόλις», λοιπόν, είναι μια μορφή ανώτερης κοινωνικής
συνύπαρξης («ἡ πασῶν κυριωτάτη»), που εμπεριέχει όλες τις άλλες («πάσας
περιέχουσα τὰς ἄλλας»), και αποβλέπει στο ανώτερο από όλα τα αγαθά («τοῦ
κυριωτάτου πάντων»). Είναι δε «ἡ κοινωνία ἡ πολιτική». Στον ορισμό αυτό
μπορούμε να διακρίνουμε το προσεχές γένος (genus proximum) της έννοιας «πόλις»
και την ειδοποιό διαφορά της (specifica differentia). Συγκεκριμένα, το προσεχές της
γένος, δηλαδή η ευρύτερη κατηγορία στην οποία εντάσσεται η έννοια, είναι ο όρος
«κοινωνία» («κοινωνίαν τινὰ οὖσαν»), ενώ η ειδοποιός διαφορά της, δηλαδή το
ιδιαίτερο εκείνο γνώρισμα που διαφοροποιεί την έννοια του γένους από τις όμοιές της
έννοιες, ώστε να προκύψει η οριστέα, είναι το αγαθό στο οποίο αποβλέπει.
Ειδικότερα, το αγαθό στο οποίο αποβλέπει, που είναι η ευδαιμονία των πολιτών, είναι
το ανώτερο από όλα τα αγαθά των άλλων κοινωνιών και μ’ αυτό η «πόλις» επιδιώκει
το συμφέρον του συνόλου των πολιτών. Αντίθετα, οι άλλες μορφές κοινωνίας
επιδιώκουν επιμέρους αγαθό για το συμφέρον των μελών τους. Ο Αριστοτέλης
επισφραγίζει τον ορισμό της έννοιας «πόλις» με τον χαρακτηρισμό πολιτική
κοινωνία, δηλαδή την οργανωμένη πολιτειακά κοινωνία η οποία έχει αυτάρκεια,
αυτονομία, ελευθερία, θεσμούς και πολίτευμα. Αφορά, λοιπόν, η πόλη τη γνωστή για
τον αρχαίο ελληνικό κόσμο πόλη-κράτος, όπως επικράτησε να αποδίδεται σήμερα ο
όρος.
Ο όρος «κοινωνία» προέρχεται από τη λέξη «κοινωνός» και είναι ομόρριζος με το
ρήμα «κοινωνῶ» που στα αρχαία ελληνικά σημαίνει μοιράζομαι ή κάνω κάτι μαζί με
άλλους. Έτσι, με τον όρο αυτό νοείται μια ομάδα ανθρώπων που συνυπάρχουν και
συνεργάζονται αποβλέποντας –η καθεμιά ξεχωριστά– στην επίτευξη ενός κοινού για
τα μέλη της σκοπού, ενός επιμέρους συμφέροντος («ἀγαθοῦ τινος ἕνεκεν
συνεστηκυῖαν»). Αυτοί, για παράδειγμα, που πολεμούν μαζί επιδιώκουν τον πλούτο,
τη νίκη ή την κατάκτηση μιας πόλης, οι ναυτικοί έχουν στόχο την απόκτηση
χρημάτων, και κάτι ανάλογο συμβαίνει σε όσους ανήκουν σε μια φυλή ή σε ένα δήμο.
Οι επιμέρους αυτές κοινωνίες αποτελούν, για τον Αριστοτέλη, μόρια της πολιτικής
κοινωνίας, εμπεριέχονται δηλαδή σε αυτή («ἡ πασῶν κυριωτάτη καὶ πάσας
περιέχουσα τὰς ἄλλας»), και τις τοποθετεί σε υποδεέστερη από αυτή θέση, αφού η
πολιτική κοινωνία δεν στοχεύει στο ειδικό κατά περίπτωση συμφέρον, στο συμφέρον
της στιγμής, ή στο συμφέρον μιας ομάδας ανθρώπων, αλλά σ’ ένα ανώτερο αγαθό
(«κυριωτάτου πάντων»), δηλαδή στην ευδαιμονία του συνόλου των πολιτών, που
αφορά «ἅπαντα τὸν βίον». Ο Αριστοτέλης στα Ηθικά Νικομάχεια είχε χαρακτηρίσει
το υπέρτατο αυτό αγαθό με την έκφραση «τὸ ἀκρότατον πάντων τῶν πρακτῶν
ἀγαθῶν».
Η ειδοποιός διαφορά ανάμεσα στις άλλες μορφές συμβίωσης και στην πόλη είναι
ποιοτική (κυριωτάτη), ποσοτική (περιέχουσα) και ανώτερου σκοπού, καθώς ο
υπέρτατος σκοπός της πόλης υπερβαίνει τους επιμέρους σκοπούς των μορίων
(=υποσυνόλων) της πολιτικής κοινωνίας. Με τη φράση «κυριωτάτου πάντων» ο
Αριστοτέλης εννοεί το υπέρτατο αγαθό στο οποίο αποβλέπει η «πόλις», δηλαδή την
ευδαιμονία του συνόλου των πολιτών. Η ανωτερότητα αυτού του αγαθού αποδεικνύει
και την ανωτερότητα της ίδιας της πόλης έναντι των άλλων κοινωνιών. Με άλλα
λόγια, εφόσον η πόλη είναι η «κυριωτάτη» όλων των κοινωνιών, και το αγαθό στο
οποίο στοχεύει είναι το «κυριώτατον» όλων των άλλων αγαθών.
Ήδη στην εισαγωγή των Ηθικών Νικομαχείων είδαμε τις ερμηνείες που έδωσαν στον
όρο «εὐδαιμονία» διάφοροι φιλόσοφοι, όπως και την ερμηνεία του Αριστοτέλη.
Αρχικά, λοιπόν, η λέξη «εὐδαιμονία» (< εὖ + δαίμων) σήμαινε την εύνοια του θείου,
κάτι που δίνεται δηλαδή στον άνθρωπο από τον θεό. Αργότερα, για το περιεχόμενο
της ίδιας λέξης μίλησε ο Ηράκλειτος και ο Δημόκριτος. Σύμφωνα με αυτούς, η
κατάκτηση της ευδαιμονίας εξαρτάται από τον ίδιο τον άνθρωπο και τις ενέργειές
του. Σύμφωνα με τον Αριστοτέλη, η ευδαιμονία δεν είναι κατάσταση, αλλά διαρκής
ενέργεια της ψυχής με τους κανόνες της τέλειας αρετής.
Μελετώντας, λοιπόν, όλες τις παραπάνω απόψεις παρατηρούμε ότι ο όρος
«εὐδαιμονία» αφορά τον ηθικό βίο του ανθρώπου. Για τον Αριστοτέλη, όμως, ο όρος
αυτός έχει από τη μια ηθικό περιεχόμενο και αφορά τον άνθρωπο ως άτομο και από
την άλλη είναι και ο προορισμός της πόλης, που αφορά τον άνθρωπο ως πολίτη. Ο
άνθρωπος δηλαδή θα κατακτήσει με τις ηθικές ενέργειές του τόσο την ατομική
ευδαιμονία όσο και την ευδαιμονία μέσα στο πλαίσιο της πόλης συνυπάρχοντας
αρμονικά με τους άλλους πολίτες και ενεργώντας ως πολίτης. Υπό την έννοια αυτή,
οι πράξεις του είναι πολιτικές πράξεις, καθώς ενεργεί ως μέλος της πολιτικής
κοινωνίας, και έχουν πολιτικές συνέπειες, εφόσον οδηγούν στην ευδαιμονία του
πολιτικού συνόλου. Η άποψη αυτή διατυπώνεται ξεκάθαρα από τον ίδιο τον
Αριστοτέλη στο έβδομο βιβλίο των Πολιτικών του, όπου αναφέρει ότι η ευδαιμονία
του κάθε ανθρώπου ξεχωριστά συναρτάται με την ευδαιμονία της πόλης. Έτσι,
επιβεβαιώνεται η άποψη ότι η ηθική φιλοσοφία είναι μέρος της πολιτικής φιλοσοφίας
Σχόλια Φακέλου Υλικού σελίδα 154 για την «πόλιν», το «ἀγαθόν» και την
«αὐτάρκεια».
Β2. Ο Αριστοτέλης στο διδαγμένο κείμενο για να αποδείξει την υπεροχή του πλήθους
χρησιμοποιεί μια αναλογία που αντλείται από το χώρο της μυθολογίας, όπου
συναντάμε τερατόμορφα πλάσματα με πολλά χέρια και πόδια. Αναφέρει πως καθώς ο
καθένας διαθέτει ένα μόριο αρετής και φρόνησης, αν όλοι μαζί οι πολίτες ενώσουν
τις δυνάμεις και τις ικανότητές τους, τότε θα ενεργούν σαν ένας άνθρωπος που έχει
πολλά πόδια, χέρια, εξαιρετική αρετή και εξυπνάδα. Επομένως, διαθέτει πολλές
σωματικές, ηθικές και πνευματικές ικανότητας συγκεντρωμένες.
Στο απόσπασμα Ανωνύμου Ιαμβλίχου παρουσιάζονται τα χαρακτηριστικά του
φανταστικού υπερανθρώπου. Πρόκειται για ένα ον με εκ γενετής υπερφυσικές
ιδιότητες. Συγκεκριμένα, τον παρουσιάζει απλήγωτο (άτρωτο), δεν θα τον αγγίζουν οι
ασθένειες και οι συμφορές και θα είναι εξοπλισμένος με σωματικές και ψυχικές
δυνάμεις που θα του προσφέρουν τη δυνατότητα να παραβαίνει τους νόμους χωρίς
συνέπειες. Όμως ένας τέτοιος άνθρωπος θα μπορούσε να επιβιώσει μόνο στην
περίπτωση που θα ήταν με την πλευρά της δικαιοσύνης, καθώς η συσπειρωμένη
δύναμη των αντιπάλων θα υπερτερούσε και ο ίδιος θα έχανε τη δύναμή του.
Β3.
οπτική ὁρ
σύσταση συνεστηκυῑαν
λάθος ἀλήθειαν
δοχείο ἐνδέχεται
ποδήλατο πολύποδα
Β4.
1 β
2 β
3 α
4 α
5 β
Γ1.
Ω Σωκράτη, όλα τα φυτά κινδυνεύουν να έχουν τον ίδιο τρόπο (ανάπτυξης) και αυτά
που φυτρώνουν από τη γη και τα ζώα και τα άλλα και ο άνθρωπος, και πράγματα στα
φυτά πολύ εύκολο φαίνεται αυτό και κυρίως για εμάς που καλλιεργούμε τη γη, διότι,
πριν φυτεύσουμε προετοιμάζουμε α πάντα και ακόμα και το ίδιο το φύτευμα. Και
όταν το φυτό αυξηθεί μετά απ’ αυτό η φροντίδα του βλασταριού γίνεται μακροχρόνια
και δύσκολη. Φαίνεται ότι το ίδιο συμβαίνει και για τους ανθρώπους. Και από τη δική
μου εμπειρία συμπεραίνω αυτό και για τις άλλες περιπτώσεις. Γιατί για μένα το πιο
εύκολο πράγμα όλων ήταν το να φυτεύσω ή να γεννήσω αυτό το παιδί, η ανατροφή
του όμως είναι δύσκολη και πάντα μου προκαλεί φόβο αυτό το ζήτημα.
Γ2.
Ο Θεάγης αξιώνει από τον πατέρα του τον Δημόδοκο, μια εσφαλμένη κατά τον
πατέρα του, αξίωση. Συγκεκριμένα απαιτεί να γίνει σοφός. Επηρεασμένος από τα
λόγια κάποιων συγχωριανών του ενθουσιάστηκε και συνεχώς ενοχλούσε τον πατέρα
του, τον Δημόδοκο, να ανταποκριθεί στην επιθυμία του και να πληρώσει χρήματα,
ώστε να γίνει μαθητής των σοφιστών. Έτσι θεωρούσε ο Θεάγης ότι θα μπορούσε να
κατακτήσει τη σοφία την οποία υπόσχονταν οι σοφιστές.
Γ3.
ἔχειν σχές
ῥᾷστον ῥάδιον – ῥᾶον
ἀγεννής ἀγεννοῦς
ἐπιθυμεῑ ἐπιθυμεῑν
τό ἀστυ τά ἄστη
καταλαβαίνοντες καταβησόμενοι
πάλαι παλαίτερον
ἐπιμεληθῆναι ἐπιμεληθέντων
ὃστις οἳτινες
Γ4.α.
τόν αὐτόν Επιθετικός προσδιορισμός στο
«τρόπον»
τοῦτο Υποκείμενο του ρήματος
«γίγνεται»
ὀνομάζειν Υποκείμενο του απροσώπου
ρήματος «δεῑ» και τελικό
απαρέμφατο
πάντων Γενική διαιρετική από το
«ῥάστη»
εἰς το ἀστυ Εμπρόθετος προσδιορισμός
κίνησης σε τόπο στη μετοχή
«καταβαίνοντες»
μοι Έμμεσο αντικείμενο στο ρήμα
«παρέχει»
σοφόν Κατηγορούμενο στο αντικείμενο
«αὐτον» από το ρήμα «ποιήσει»
Γ4.β.
Δημόδοκος ἔλεγεν ὅτι ἡ δέ τότε παροῦσα ἐπιθυμία τούτῳ πάνυ αὐτόν φοβοῑ.
Επιμέλεια Θεμάτων
Φιλολογική ομάδα Φροντιστήριο «Άλμα»
Βόλλαρη Εξακουστή
Λούπη Βασιλική
Μιχαηλίδη Αθηνά
Παναγιωτοπούλου Όλγα
Πανοπούλου Ιωάννα
Παπαδόπουλος Σάκης
ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΒΙΟΛΟΓΙΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ
ΘΕΜΑ Α
Α1→ γ
Α2→β
Α3→β
Α4→γ
Α5→δ
ΘΕΜΑ Β
Β1. α) α→νερό
β→ υπεροξείδιο του υδρογόνου
γ→καταλάση
β) Τα ένζυμα είναι πρωτεΐνες.
γ) Τα μονομερή των ενζύμων είναι τα αμινοξέα.
δ) Τα ένζυμα δομούνται από 20 διαφορετικά αμινοξέα τα οποία
διαφέρουν στην πλευρική ομάδα (μεταβλητό μέρος ).
Β2. α) Τεύχος β σελ. 17 ορισμός αποικίας
β) Τεύχος β σελ. 114-115 «Ακολουθεί την εκθετική φάση ανάπτυξης
μιας κλειστής καλλιέργειας η στατική κατά την οποία… των
μικροοργανισμών.»
γ) Τεύχος α σελ.142 « Ορισμένες φορές…. με αμφιγονία.»
Β3. Τεύχος α σελ.125 « Τα μειονεκτήματα αυτά είναι…. κατασκευής
εμβολίου.»
Β4. Σε κύτταρο φύλλου λεμονιάς μετάφραση γίνεται στα ριβοσώματα
που βρίσκονται στα μιτοχόνδρια, στους χλωροπλάστες και στο
κυτταρόπλασμα ( στις μεμβράνες του αδρού ενδοπλασματικού δικτύου
ή ελεύθερα ).
Β5. Τεύχος β σελ.141 «Είναι φανερό ότι …με παραδοσιακές τεχνικές».
ΘΕΜΑ Γ
Γ1. α) Φαινόμενο μη διαχωρισμού
β) 38 χρωμοσώματα
γ) Το κύτταρο Α έχει 40 μόρια DNA
Το κύτταρο Β έχει 36 μόρια DNA
δ) Οι 2 γαμέτες που θα προκύψουν από το κύτταρο Α θα έχουν 20
χρωμοσώματα και οι 2 γαμέτες που θα προκύψουν από το κύτταρο Β
θα έχουν 18 χρωμοσώματα.
Γ2. Ορισμός cDNA βιβλιοθήκης. Στα δύο κύτταρα υπάρχουν πρωτεΐνες
που είναι κοινές και συμμετέχουν σε βασικές μεταβολικές διαδικασίες
όπως π.χ ένζυμα αντιγραφής, μεταγραφής ή δομικές πρωτεΐνες
ριβοσωμάτων. Έτσι κάποιοι κλώνοι θα είναι ίδιοι. Όμως λόγω
κυτταρικής διαφοροποίησης θα εκφράζονται και διαφορετικές
πρωτεΐνες πχ. στο παγκρεατικό κύτταρο ινσουλίνη και στο ηπατικό α1
αντιθρυψίνη οπότε κάποιοι κλώνοι θα είναι διαφορετικοί.
Γ3. Οι γονιδιωματικές βιβλιοθήκες των δύο σπερματοζωαρίων θα είναι
διαφορετικές. Τα σπερματοζωάρια δεν περιέχουν ίδιες αλληλουχίες
DNA αφού υπάρχει μεγάλη γενετική ποικιλομορφία λόγω επιχιασμών
και ανεξάρτητου συνδυασμού ομόλογων χρωμοσωμάτων κατά την
μείωση. Επιπλέον το φυλετικό χρωμόσωμα του σπερματοζωαρίου
μπορεί να είναι το Χ ή το Υ.
Γ4. Αναμενόμενη φυσιολογική αναλογία φύλου 1:1
Για το χρώμα των ματιών το γονίδιο είναι φυλοσύνδετο αφού υπάρχει
διαφορά στον τρόπο κληρονόμησης με βάση το φύλο. Τα κόκκινα μάτια
ελέγχονται από επικρατές γονίδιο γιατί ο θηλυκός γονέας είχε λευκά
μάτια και κανένας θηλυκός απόγονος δεν είχε λευκά μάτια
(υπολειπόμενο γονίδιο ). Το γονίδιο για τις κεραίες είναι αυτοσωμικό
αφού τα γονίδια βρίσκονται σε διαφορετικά ζεύγη χρωμοσωμάτων.
Λόγω της αναλογίας 2:1 υπάρχει θνησιγόνο γονίδιο και με γνωστούς
τους φαινότυπους των γονέων διαπιστώνεται πως υπάρχουν πολλαπλά
αλληλόμορφα.
Έστω Μ1: μεγάλες κεραίες Μ1>Μ2>Μ3
Μ2: μικρές κεραίες
Μ3: θνησιγόνο
P: Μ1Μ3 (Χ ) Μ2Μ3
Γαμέτες: Μ1,Μ3 Μ2,Μ3
Απόγονοι: Μ1Μ2, Μ1Μ3,Μ2Μ3, Μ3Μ3 Τα Μ3Μ3 άτομα πεθαίνουν και
φαινοτυπική αναλογία 2 με μεγάλες κεραίες: 1 με μικρές κεραίες
Έστω χ Κ : κόκκινα μάτια
Χ κ : λευκά μάτια
P: χ Κ Υ (χ) χ κ χ κ
Γαμέτες: χΚ, Υ χ κ
Απόγονοι: χ Κ χ κ , χ κ Υ
και γονότυποι γονέων χ κ χ κ Μ2Μ3 και χ Κ ΥΜ1Μ3
ΘΕΜΑ Δ
Δ1 α) πρόδρομο mRNA:
5΄-UUCAUGGAAUUCCAUGAAAGGGUAGGGGAAUUCUAGCCC-3΄
Ώριμο mRNA:
5΄-UUCAUGGAAUUCCAUGUAGGGGAAUUCUAGCCC-3΄
β) 8 αμινοξέα
Δ2 α) 5΄- AATTCCATGAAAGGGTAGGGG-3΄
3΄-GGTACTTTCCCATCCCCTTAA-5΄
Κωδικόνια: 5΄- ATGAAAGGG-3΄ Το κωδικόνιο λήξης δεν κωδικοποιεί
αμινοξύ ενώ θα εκφραστεί και το εσώνιο αφού τα βακτήρια δε
διαθέτουν μηχανισμούς ωρίμανσης. Αν το γονίδιο ενσωματωθεί με
λάθος προσανατολισμό δε θα υπάρχει έκφραση.
Δ3. α) αλυσίδα Ι: 3΄-5΄και αλυσίδα ΙΙ:5΄-3΄
β) 5΄-AUGAAUAGACUGAUGGCAUAUAGAGAGACAU-3΄
Δ4. 3΄-CAGAGAGA-5΄
Κωδική είναι η αλυσίδα ΙV. Διαθέτει κωδικόνιο έναρξης της μετάφρασης
και με βήμα τριπλέτας, συνεχώς και μη επικαλυπτόμενα υπάρχει
κωδικόνιο λήξης. Η 5΄αμετάφραστη του mRNA που θα προκύψει θα
είναι η 5΄-GGUCUCUCUGCAUACG- 3΄ και το rRNA μπορεί να συνδεθεί με
8 νουκλεοτίδια της περιοχής αυτής ώστε να ξεκινήσει η μετάφραση.
(Στάδιο έναρξης της μετάφρασης)
Επιμέλεια απαντήσεων: Ανδρεοπούλου Κωνσταντίνα
Φροντιστήριο Άλμα
Απαντήσεις θεμάτων Μαθηματικά 2023
Θέμα Α
Α1.σελίδα 111 σχολικό βιβλίο
Α2.σελίδα 104 σχολικό βιβλίο
Α3.σελίδα 128 σχολικό βιβλίο
Α4.
α)Λ, β)Λ, γ)Λ, δ)Σ, ε)Σ
Θέμα Β
Β1.Έχουμε ότι με και .
Για την f=goh, πρέπει για
Άρα
B2.
i) Η f είναι συνεχής ως ρητή για x>0 και παρ/μη με
Άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα για x>0.
ii) έχουμε ότι
διαιρώντας με έχουμε .
B3.
Άρα η f έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη την ευθεία χ=0.
Έχουμε ότι,
Άρα η f δεν έχει οριζόντια ασύμπτωτη .
και
Οπότε η f έχει πλάγια ασύμπτωτη την .
B4.
η f(x)<0 κοντά στο .
Για κάθε x>0 , έχουμε
Αφού, από Β3, έχουμε τότε άρα
,οπότε από το κριτήριο παρεμβολής έχουμε
ΘΕΜΑ Γ
Γ1. =1 1- =1 α=0
Γ2 .i) = … =
= … =
Oπότε ορίζεται η εφαπτομένη της στο =1 αφού η f παραγωγίσιμη στο 1 και f’(1)=-1
ii) επομένως η εφαπτομένη στο είναι y- f(1)= f’(1)(x-1) y=-x+2
Ισχύει πως f’(1)=-1 εφω =-1 ω=
Γ3. Για χ<1 έχουμε πως η f είναι γνησίως φθίνουσα ,αφού 2x<2<3 2x-3<0
f’(x)<0
Για χ≥1 έχουμε πως η f είναι γνησίως φθίνουσα, αφού f’(x)=- <0
Συνεπώς η f είναι γνησίως φθίνουσα στο (-∞,+∞), οπότε θα είναι και 1-1
συνάρτηση.
f ((-∞,+∞)=()=() = (0,+∞)
Γ4. E= – = -∙1∙1 =
Θέμα Δ
Έχουμε και
Δ1. Θέτω με
Οπότε
και αφού η f είναι συνεχής στο 1,
.
Δ2.
Η f είναι συνεχής ως πράξη συνέχων και παρ/μη στο (0,2) με
Έχουμε άρα f γνησίως αύξουσα στο(0,1] και στο(1,2), οπότε f γνησίως φθίνουσα
στο [1,2).
Έστω και
Αν τότε f γνησίως αύξουσα, άρα
Αφού
Και
Αν τότε f γνησίως φθίνουσα, άρα
Αφού από (1)
. (1)
Αφού 0 , υπάρχει τέτοιό ώστε και επειδή f γνησίως αύξουσα είναι μοναδικό.
Αφού 0 , υπάρχει τέτοιό ώστε και επειδή f γνησίως φθίνουσα είναι μοναδικό.
Επίσης ισχύει ότι και αφού
= και η f στο (0,1)
Θα είναι .
Δ3.
Η f είναι συνεχής στο .
Η f είναι παρ/μη στο)
Άρα για την f ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. στο , συνεπώς υπάρχει ένα
τουλάχιστον ) τέτοιο ώστε
Η f’ είναι συνεχής και παρ/μη στο ) με
,
Άρα f’ γνησίως φθίνουσα στο] , οπότε μοναδικό.
Δ4.
i)
F αρχική της f οπότε F’(x)=f(x).
G αρχική της f οπότε G’(x)=f(x).
Άρα F(x)=G(x)+ c, με c ε R.
Για έχουμε F()=G()+ c G()=- c, αφού F()=0
Για έχουμε F()=G()+ c=c, αφού G(.
Οπότε F(
ii)
θεωρώ .
H h είναι συνεχής στο ως πράξη συνεχών.
από (1),(2)
από (1),(2)
αφού και στο .
Άρα γνησίως αύξουσα στο .
Οπότε αφού (1)
επίσης (2)
Οπότε , άρα ισχύουν οι υποθέσεις του θ.Bolzano, συνεπώς η εξίσωση h(x)=0 έχει
μια τουλάχιστον ρίζα στο .
, αφού και
Άρα h γνησίως αύξουσα ,επομένως η παραπάνω ρίζα είναι μοναδική στο .
ΣΧΌΛΙΟ: οι παραπάνω απαντήσεις είναι ενδεικτικές και προφανώς υπάρχουν διαφορετικές
λύσεις για τα περισσότερα από τα ερωτήματα.
ΕΠΙΜΈΛΕΙΑ ΘΕΜΆΤΩΝ:
ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΠΟΥΛΟΣ ΒΑΓΓΕΛΗΣ
ΒΡΥΝΑΣ ΣΠΥΡΟΣ
ΛΙΑΚΟΠΟΥΛΟΣ ΣΠΥΡΟΣ
ΠΑΝΑΓΙΩΤΟΠΥΛΟΥ ΜΑΓΔΑ
